Вопрос: В чем разница между 登记 и 登机 в аэропорту и почему они так подозрительно похожи? 

Ответ: Да, я понимаю, откуда растут ноги у этого вопроса. Вкратце: 登记 (dēngjì) это “регистрация на рейс” и тут 登 выступает в значении “быть занесенным куда-либо в письменном виде”. Конечно, это значение к нему пришло позднее, когда он стал использоваться в значении “поставить что-либо сверху чего-либо” — в данном случае, речь идет об оставлении информации на бумаге. 记 же означает собственно “записи”, то есть общее значение 登记 это “занести в запись”, а частное, в контексте аэропорта, зарегистрировать на рейс. Стоит запомнить, что в аэропортах обычно 登记 не используется сам по себе, а чаще в сочетаниях типа 登记手续，登记服务 и т.д.

А вот в 登机 (dēngjī) — “посадка в самолет”, мы видим 登 в его исконном значении  — “всходить на повозку/колесницу”.  机 здесь, конечно же, сокращение от 飞机 — “самолет”. 

В общем, не путай эти два слова и не опаздывай ни на 登记, ни на 登机.